Всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна.
В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на
которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде
тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи,
которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под
вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ
на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря
современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика?
Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что
система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике
за основу без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет
математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать
такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно
непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение
относительно истинности или ложности любого утверждения.
Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии
на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма
углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов
треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то
в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и
третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что
такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой
системе.
И тут в 1931 году какой-то венский очкарик — математик Курт Гёдель —
взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так
называемой «математической логики». После долгих и сложных
математико-теоретических преамбул он установил буквально следующее.
Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе
аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». Так вот,
Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:
«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».
Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо».
То есть, возвращаясь к формулировке второй задачи Гильберта, если
система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть
доказано), то она противоречива.
Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной
системы аксиом. То есть, приходиться мириться с тем, что в контексте
любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые
являются заведомо истинными или ложными, — и мы можем судить об их
истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же
таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и
в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно
одновременно и доказать, и опровергнуть.
Итак, формулировка первой,или слабой теоремы Гёделя о неполноте:
«Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения».
Но на этом Гёдель не остановился, сформулировав и доказав вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте:
«Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть
доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения
требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)».
Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный
характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической
логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с
устройством человеческого мозга. Английский математик и физик Роджер
Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно
использовать для доказательства наличия принципиальных различий между
человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост.
Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно
или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие
утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же,
столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым
утверждением А, всегда способен определить его истинность или
ложность — исходя из повседневного опыта. По крайней мере, в этом
человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими
схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины,
заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный — никогда. Следовательно,
человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто
компьютер. Он способен принимать решения, и тест Тьюринга пройдет успешно.
Интересно, догадывался ли Гильберт, как далеко заведут нас его вопросы?