Кто же такой Эйлер? Это – математик, физик, мexaник и астроном. Родился в Швейцарии. Окончил Базельскую гимназию Еще обучаясь в гимназии, слушал в университете лекции Иоганна I Бернулли. Под его руководством Эйлер изучил в подлинниках труды знаменитых в то время математиков. В 1723г. Эйлер получил степень магистра наук. В 1726г. по приглашению Петербургской АН Эйлер приехал в Россию и был назначен адъюнктом по математике. В 1730г. он занял кафедру физики, а в 1733 стал академиком математики. В 1740г. началось тяжелое для России время регентства Бирона, и положение Петербургской АН стало шатким. Слава Эйлера гремела по всей Европе. Он принимает предложение короля Фридриха II и в 1741г. переезжает в Берлин. Но и в это время он не порвал связи с Петербургом. В 1746г. выходят три тома статей Эйлера, посвященных артиллерии, в которых он, совершенствует формулы баллистики и придает им вид, удобный для практического применения. Большое внимание на протяжении всей своей жизни уделяет Эйлер вопросам навигации. В 1749г. он выпускает двухтомный труд, впервые излагающий вопросы навигации в математической форме. Вопросы об остойчивости и равновесии судов, о качке, о форме судов, о движении под действием силы ветра и управлении судном – все это было охвачено этим произведением. Работа была опубликована Петербургской АН. Эйлер дополнил ее серией мемуаров. Один из них, мемуар о бортовой и килевой качке судов, получил в 1759г. премию Парижской АН. В 1773г. Эйлер опубликовал полную теорию кораблестроения и маневрирования судов. Этот груд был издан во Франции, Англии и Италии. Многочисленные открытия Эйлера по математическому анализу, сделанные им за 30 лет и напечатанные в различных академических изданиях, были позже объединены в одном произведении – «Введении в анализ бесконечно малых» (Лозанна, 1748г.). l-й том был посвящен свойствам рациональных и трансцендентных функций; во 2-м томе исследовались кривые 2-го, 3-го и 4-го порядков и поверхности 2-го порядка. Здесь впервые введены углы Эйлера, играющие в математике и механике важную роль. Вслед за «Введением» вышел трактат в 4-х томах. l-й том, посвященный дифференциальному исчислению, был издан в Берлине (1755г.), а остальные тома, посвященные интегральному исчислению, – в Петербургской АН (1768–1770гг.). В последнем томе интегрального исчисления рассматривалось вариационное исчисление, созданное Эйлером и Ж. Лагранжем. Одновременно Эйлер исследовал вопрос о прохождении света через различные среды и связанный с этим эффект хроматизма. В 1747г. он предложил сложный объектив. &bsp В 1776г. Эйлер вернулся в Россию. Работу «Элементы алгебры», вышедшую в 1768г., Эйлер вынужден был диктовать, т. к. к этому времени он ослеп. Работа вышла на русском, немецком и французском языках. Вместе с академиком В. Крафтом Эйлер собирает в один огромный трактат все, что он написал за 30 лет по диоптрике. В 1769–1777гг. вышли 3 больших тома, в которых изложены правила наилучшего расчета рефракторов, рефлекторов и микроскопов, решаются такие вопросы, как вычисление наибольшей яркости изображения, наибольшего поля зрения, наименьшей длины астрономических труб, наибольшего увеличения и т. п. В это же время печатались 3 тома писем Эйлера к немецкой принцессе, 3 тома интегрального исчисления, 2 тома элементов алгебры, мемуары: «Вычисление Кометы 1769», «Вычисление затмения Солнца», «Новая теория Луны», «Навигация» и др. В 1775г., Парижская АН в обход статута и с согласия французского правительства определила Эйлера своим девятым (должно быть только 8) «присоединенным: членом». Несмотря на слепоту, научная продуктивность Эйлера все возрастала. Почти половина его трудов создана в последнее десятилетие жизни. Он занимается гидродинамикой; теорией объективов, теорией вероятностей, теорией чисел и др. вопросами естествознания. Эйлер впервые вводит понятие функции комплексной переменной, находит неожиданную связь между, тригонометрическими и показательными функциями. Тригонометрию он дал в таком виде, в каком мы ее знаем сейчас. Вариационное исчисление в ряде трудов Эйлера приняло вид общего метода. Эйлер положил начало аналитическому методу в теории чисел. Всего теории чисел он посвятил более 140 работ. Эйлер был одним из творцов современной дифференциальной геометрии. Ему же принадлежит доказательство соотношения между числом вершин, ребер и граней многогранника: сумма числа вершин и граней равна числу ребер, увеличенному на 2. В алгебраической топологии важную роль играют эйлерова характеристика и эйлеров класс. Почти во всех областях математики и ее приложений встречается имя Эйлера: теоремы Эйлера, тождества Эйлера, эйлеровские постоянные, углы, функции, интегралы, формулы, уравнения, подстановки и т. д. За несколько дней до смерти Эйлер занимался расчетом полета аэростата, который казался чудом в ту эпоху, и почти закончил весьма трудную интеграцию, связанную с этим вычислением. Эйлеру принадлежит более 865 исследований по самым разнообразным и труднейшим вопросам. Он оказал большое и плодотворное влияние на развитие математического просвещения в России в 18 веке. Петербургская математическая школа, в которую входили академики С.К. Котельников, С.Я. Румоеский, Н.И. Фусс, М.Е. Головин и др. Русские математики, под его руководством провела огромную просветительную работу, создала обширную и замечательную для своего времени учебную литературу, выполнила ряд интересных научных исследований в области математики. Маленькая горная Швейцария дала миру много известных ученых. Достаточно назвать прославленную династию математиков и механиков Бернулли. Близ швейцарского города Базеля в селе Pиxeн родился и Леонард Эйлер – выдающийся математик XVIII столетия. Его отец, сельский пастор, изучал математику у Якоба Бернулли, защитил диссертацию по математике. Сыну он сам дал начальное математическое образование, тем не менее хотел, чтобы тот унаследовал его профессию. В Базельском университете, куда Эйлер поступил в 1720 г. в младший философский класс, он изучал схоластические премудрости, а втайне от отца слушал лекции по математике. На его математическую одаренность обратил внимание профессор математики Йоганн I Бернулли. Он начал проводить с талантливым студентом дополнительные занятия, советовал изучать произведения выдающихся математиков, познакомил его со своими сыновьями – Николаем и Даниилом, которые также восхищались математикой. Осенью 1723 г. родители застсвили таки Леонарда пойти на богословский факультет, а в июне следующего года за содержательную речь «Сравнения философских взглядов Ньютона и Декарта», провозглашенную латинским языком, Леонард приобретает ученую степень магистра искусств. В Швейцарии не нашли работы после окончания университета ни братья Бернулли, ни Эйлер. Николай и Даниил выехали в Россию. 29 января 1724 г. Петр I основал Петербургскую Академию наук, в которую на работу пригласил ученых. По поводу отъезда своих сыновей в Россию Йоганн I Бернулли писал: «Лучше немного потерпеть от сурового климата страны льдов, в которой чествуют муз, чем умереть от голода в стране с умеренным климатом, где муз обижают и пренебрегают ими». Эйлер загорелся также желанием поехать за Бернулли в далекую страну. Позднее, в автобиографии он вспоминал: «У меня возникло невыразимое желание отправиться вместе с ними в 1725 г. в Петербург. Дело, тем не менее, не могло скоро свершиться, а тем временем молодые Бернулли обещали мне, по прибытии в Петербург, выхлопотать приличное для меня место». В скором времени Бернулли и в самом деле известили, что в Петербургской Академии предполагается вакансия на кафедре физиологии. Готовясь к будущей деятельности, Эйлер начал изучать медицину, надеясь, что в ней также удастся применить математику. Тем временем в Базельском университете он успешно защитил диссертацию на тему «О природе образования и распространения звука», напечатал ее и готовил на конкурс в Парижской академии работу о лучшем размещение мачт на корабле. В Швейцарии Эйлер видел морские корабли разве что на рисунках. Математика помогла молодому ученому так глубоко разработать эту важную для навигации тему, что его работу было одобрено и напечатано в сборнике конкурсных работ. В конце концов пришел долгожданный вызов из России. 5 апреля 1727 г. Ейлер навсегда оставляет Швейцарию. Трудной была дорогая в северную столицу, нелегкие и условия работы в новообразованном научном учреждении. Уже в дороге Леонард справился о преждевременной смерти Николая Бернулли, а в день его приезда умершая покровительница Академии царица Екатерина I. Знать смотрела на Академию с подозрением. Ученым поручали не только составлять географические карты, а и писать оды в честь побед ли по случаю рождения членов царской семьи, они должны были разрабатывать проекты развлечений царского двора, даже составлять гороскопы. Кое-кто из ученых не выдерживал сложных условий работы и оставлял Россию. Начальник русского флота адмирал Сиверс, беспокоясь о том, чтобы Ейлер не выехал из России, пригласил его в свое ведомство. Он выхлопотал для Ейлера даже чин лейтенанта флота и обещал оказывать содействие быстрому продвижению по службе. Ученый нашел здесь то, чего не могла дать нему родина, – возможность полностью отдаться любимому делу – математике. Это была его стихия. В скором времени после приезда Ейлер представил на рассмотрение конференции 13 докладов. Он сразу активно включился в yci виды научных и учебных работ, которые проводила Академия, и где можно было применить математику. Много сил ученый отдал картографическому делу. В 1740 г. его назначили директором географического департамента. Он занимается решением сложных задач кораблестроения и навигации, создает учебные пособия, читает лекции, организовывает и проводит экзамены в гимназии и воинских учебных заведениях, популяризирует научные знания, пишет рецензии на произведения, которые поступали в Академию. Ученый был членом многих экспертных комиссий, которые рассматривали самые разнообразныетехнические проекты. Например, проект одноарочного моста через Неву гениального изобретателя И. П. Кулибина. Ейлер был единым академиком, который благосклонно относился к смелому замыслу изобретателя, и помог нему в вычислениях. Одновременно нему приходилось заниматься и такими вопросами, как проекты конструкций пожежежної помпы и даже лесопильной машины. Россия - постоянная второй родиной Ейлера. В 1730 г. он занимает академическую кафедру физики, а с 1733 – после отъезда из Петербурга Даниила Бернулли его назначают на уволенное место академиком кафедры математики. Работал Ейлер восторженно, самоотверженно. В 1738 г. Петербургская Академия получила от правительства срочная задача: на протяжении нескольких месяцев выполнить большие астрономические вычисления, необходимые для применения в картографии. Ейлер взялся выполнить нужные вычисления за трех дни и на пребольшое чудо вложился в этот срок. Но от перенапряжения ученый заболел нервной лихорадкой и утратил правый глаз. Ейлер стойко перенес бедствие, заметив, что ,теперь у него будет вдвое меньше причин отвлекаться от математики. Лишь однажды Ейлер отказался выполнить предложенную работу – составить гороскоп царевичу Ивану, который со временем на короткое время стал императором Иваном IV, а потом долголетним узником Шлиссельбурской крепости. В те времена работать становилось все тяжелее. Дворцовые интриги давали себя знать и в Академии. Образы, взаимные клеветы, самодурство и грубость начальства отвлекали от научной работы. Tакие обстоятельства заставили Ейлера принять нелегкое решение. После 14 лет жизни в Pоcсии, летом 1741 г. он уезжает в Берлин. Однако с Петербургской Академией ученый не перерывает связей. Почти половину своих научных работ печатает в изданиях Петербургской Академии. его производительность на это время была такой, что обе академии (Петербургская и Берлинская) не успевали выпускать в мир его мемуары и монографии. Проживая в Берлине, Ейлер руководил научной работой молодых русских ученых, покупал для Петербургской Академии литературу, научные приборы, рецензировал работе русских ученых. В особенности высоко он оценил работе М. В. Ломоносова, хотя секретарь Академии Шумахер надеялся, что Ейлер даст отрицательный отзыв на произведения Ломоносова, и это поможет нему устранить русского ученого от научной деятельности. Вообще, следует подчеркнуть, что Ейлер с большим вниманием относился к воспитанию национальных кадров русской науки. Русские ученые хлопотали о возвращение Ейлера к Петербургу. Но только через 25 лет в июле 1766 г. ученый с семьей возвращается снова в Россию – и на этот раз навсегда. Здесь, в Петербурге, на полную силу раскрылся его талант, здесь он составил огромный план научных работ, осуществления которого стало делом всего его жизнь, здесь к нему пришла мировая слава. Осенью с ним случилось новое бедствие – он утратил зрение на второй глаз. И это не уменьшило удивительной творческой напряженности ученого. Он диктовал работе своим секретарям, и его мозг с удивительной производительностью генерировал новые плодотворные идеи, открывал новые, еще нераскрытые тайны математики. Феноменальная память его сохраняла огромное количество фактов, а вычислял он с легкостью, которое и сегодня вызовет удивление. Как-то два ученика Ейлера вычисляли на бумаге сумму 17 членов сложного ряда, при этом в 15-й цифре у них оказалась отличие на единицу. Чтобы решить спор, они обратились за советом к учителю. Тот проделал все вычисления устно и назвал правильный ответ. Самым невероятным в деятельности Ейлера было то что он совсем: не замыкался в математике. Ученый чудесно знал лучших писателей старинного мира, старинную литературу из математики, историю всех времен и народов, языка старинные и восточные, Восточной Европы (среди них и русскую), ботанику, химию, физику, анатомию и медицину. Своими знаниями поражал специалистов из этих областей знаний. Он мог, например, прочитать наизусть всю «Энеиду» и даже назвать первые и последние строки поэмы на каждой странице того издания, которым пользовался. Ученый с наслаждением слушал музыку и написал трактат из математической теории музыки. Личная жизнь Ейлера была тяжелой. У него умерла жена и он вступил в брак вторично. 3 тринадцати детей восемь умерло в раннем детстве. В 1771 г. во время пожара сгорел его дом и почти все имущество. Чуть успели вывести из горящего дома слепого ученого и спасти большое количество рукописей. Государство компенсировало материальные ущербы; и ученый продолжал свою разностороннюю деятельность. Ему оперировали глаз и частично возвратили зрение. Чтобы не случилось осложнений, врачи запретили работать. 3понимало, что этого Ейлер выполнить не мог. Поэтому, возобновив силы, продолжал работать. ЕГО энергия не исчерпывалась и в 70 и 75 лет. Как-то вечером, после спокойно проведенного дня, Ейлер игрался с внуком. Но вдруг нему стало плохо. Воскликнув «я умираю», он утратил сознание. Через несколько минут Ейлер «переставь вычислять и жить». Ученый умер от кровоизлияния в мозг. Можно привести в порядок целую книжку из цитат и высказываний выдающихся ученых разных стран об уникальной гениальности Ейлера, его удивительную трудоспособность и разносторонность таланта. Выдающийся французский астроном и математик П.-С. Лаплас часто говорил своим ученикам: «Читайте Ейлера, он наш общий учитель». Немецкий математик К-Ф. Гаусс писал: «Изучения работ Ейлера считается лучшей школой в разных областях математики, и ничто не может этого заменить». Директор Петербургской Академии наук Орлов как-то обратился к Ейлера с непривычной просьбой: написать такое количество работ, чтобы их хватило для печати в научных записках Академии на протяжении 20 лет после смерти ученого. Ейлер пообещал выполнить эта задача. 3а 7 лет он написал 70 мемуаров, а всего оставил после себя готовыми в печать свыше 250 научных работ, которые печатались в академических изданиях не 20, а 80 лет (до 1862 г.). Потомков еще больше, чем его современников, поражали масштабы задела ученого. Свыше 886 научных работ, среди которых более как 20 больших 2-, 3-томних монографий. В эпистолярном наследстве насчитывается близко 3000 писем, большинство из которых есть небольшими законченными научными сообщениями. 3 возможности 200-летия со дня рождения ученого в Швейцарии начаты издания полного собрание его сочинений. Оно может состоять из 72 больших томов по 600 страниц каждый. Уже увидели мир 62 тома. Но за это время найден много новых работ ученого. Итак, издания будет значительно объёмнее, так как наука о наследстве Ейлера еще далеко не исчерпанная. В ней свыше работ касаются математики и – прикладных вопросов. Из 30 томов математической серии 19 посвящен математическому анализу, 4,5 – теории чисел, 4 – геометрии, 2,5 – алгебре, 1 – комбинаторике и теории вероятностей. Про огромную и постоянную трудоспособность Ейлера свидетельствуют не только опубликованные ним работы, а и разрешимые задачи, которые предлагались Парижской академией наук. За успешное решение их он получал премии с 1738 по 1772 год, всего 12 раз, в 1752 г. – получил двойную премию. Ейлер был членом многих иностранных академий и научных обществ. Парижская академия наук, уставом которой предусмотрен штат только из 40 академиков, учитывая исключительные заслуги Ейлера перед наукой, избрала его в мае 1755 г. «свыше штата» своим иностранным членом. Отечественные ученые М. В. Остроградський, В. Я. Буняковський, П. Л. Чебишов и прочие математики и физики прибавили много усилий, чтобы сделать работе Ейлера доступными математической общественности. Ейлер развил несколько новых математических дисциплин, которые к нему находились лишь в зачаточной форме: теорию обычных дифференциальных уравнений и в частинних производных, вариационное исчисление, элементарную теорию функций комплексной сменной; положил начало теории суммирования рядов, разложению функций в тригонометрические ряды, теории специальных функций и определенных интегралов, дифференциальной геометрии поверхностей. Выдающийся советский математик, академик М. М. Лузин писал об Ейлера: «Наиболее громоздкая формула гнулась в его сильных руках, как воск, и послушно давала под его усилиями все; что угадывала в ней его проникновенность ...Можно без преувеличения сказать, что перед глазами Ейлера математические формулы жилы своим собственной жизнью и рассказывали чрезвычайно важные вещи об явлениях природы и что нему довольно было лишь затронуть формулы, чтобы они, раньше немые, начинали говорить и давать ответа, преисполненные глубокого содержания». В самом деле, его знаменитые формулы eiz=cos z+и sin z, (1) e-iz=cos z–i sin z (2) не только связали показникову функцию с тригонометрическими функциями и комплексными числами, а и стали исходным пунктом для исследования природы числа ?. Из формул (1) и (2) легко получить, Из формулы (1), положив, что z=n, Ейлер получил неожиданную и удивительную, одну из кратчайших формул всей математики. Работы Ейлера на столетие определили развитие теории чисел. Он нашел доведение всех теорем Ферма, доказал неправильность одной из них, доказал для n=3 и n=4 знаменитую большую теорему Ферма, ввел важную так называемую функцию Ейлера ?(m), значения которой равняются числу целых чисел, меньше т и взаимно простых с m. В письмах Ейлера к члену Петербургской Академии Гольдбаха, его товарища, содержатся две знаменитые «задачи Гольдбаха»: доказать, что всякое непарное натуральное число, больше за 5, есть суммой трех простых чисел, а всякое парное, больше от 2, есть суммой двух простых чисел. Первую задачу решил уже в наше время И. М. Виноградов, другу – не доказан до сих пор. Ейлер доказал первую важную теорему топологии о том, что в всяком выпуклом многограннике количество вершин b, количество ребер р и количество граней r всегда связанные соотношением b–р+r=2. Топологический характер имеет и его известная задача о семь мостов. В связи с развитием картографии ученый разработал теорию кривизны поверхностей, теорию развёрнутых (выпуклых) поверхностей и конформных преобразований. Ейлеру принадлежат замечательные и чрезвычайно современные слова: «Hет науки, которая бы не была связана с математикой, науки, которая, если она должна быть основательно разработанной, не требовала бы применения высшей математики». Лучшим подтверждением этих слов есть самое творчество Ейлера. Физика, механика, астрономия, оптика, гидротехника, картография, теория механизмов и машин, аэронавтика, баллистика, архитектура, физиология и теория музыки – вот далеко неполный перечень областей знаний, в которых работал Ейлер. Мировую славу принес Ейлеру двухтомный трактат «Механика, или наука о движении, изложенное аналитически». Теории движения планет ученый посвятил трехтомный трактат. Огромный успех в многих странах маленькая работа «Полная теория конструирования и маневрирования судов, сделанная доступно, для тех, кто занимается навигацией». В 1750 г. Ейлер дал математический анализ процесса работы реактивной турбины, выведя турбинное уравнение. Работы Ейлера почти на 150 лет опередили эпоху. Только в 1943 г. была сделана модель турбины непосредственно, чем описание Ейлера. Самые решения практических задач было лучшим способом проверки действенности разных математических методов. Эти задачи были стимулом для разработки новых, универсальных методов математики. В учебных пособиях и научных работах ученого есть много задач с элементарной математики, доступных ученикам средней школы. Некоторые из них положили начало новым разделам математики, например: теории графов, топологии и другим. Много математических понятий элементарной математики назван именем гениального ученого. Предлагаем несколько задач, взятых из работ Леонарда Ейлера или связанных с его именем. Решения их будет продуктивным способом ознакомления с творчеством этого ученого.
