Задача 1.
|
Дано ромб ABCD і прощину β. Знайдіть відстань від вершини D до
площини β, яка проходить через вершину А, якщо відстань від точок В і С
до площини β рівні відповідно b i c.
|
Задача 2.
|
Через кожну вершину одиничного куба проведені прощини,
перпендикулярні одній і тій же діагоналі куба. На які частини ділиться
діагональ цими площинами?
|
Задача 3.
|
Центр верхньої основи куба зєднан з серединами сторін нижньої
основи. Обчисліть бокову поверхню отриманої піраміди, якщо довжина
ребра куба рівна а.
|
Задача 4.
|
Діагоналі бічних граней прямокутного паралелепіпеда утворюють з
площиною основи кути α та β. Знайдіть кут між діагоналлю паралелепіпеда
та площиною основи.
|
Задача 5.
|
Обчисліть обєм правильної чотирьохкутної призми, якщо її
діагональ утворює з бічною гранню кут α, а сторона основи рівна а .
|
Задача 6.
|
В правильній трикутній піраміді сторона основи рівна а, а плоский кут при вершині α. Обчисліть обєм піраміди.
|
Задача 7.
|
В основі піраміди лежить правильний трикутник зі стороною а. Одна
із бічних граней перпендикулярна до основи, а площі двох інших рівні P
i Q відповідно. В якому відношенні висота піраміди ділить сторону
основи.
|
Задача 8.
|
В основі піраміди лежить рівнобедрений прямокутний трикутник.
Бічна грань, опирається на гіпотенузу, перпендикулярна площині основи.
Площі двох інших граней рівні S i T відповідно. Знайдіть довжину
гіпотенузи основи, якщо відомо, що вона ділиться висотою піраміди в
відношенню 1:р.
|
Задача 9.
|
Знайдіть радіус вписаної в трикутну піраміду кулю, якщо всі її
кути при вершині прямі, а довжини бічних граней рівні a, b i c..
|
Задача 10.
|
Знайдіть обєм трикутної піраміди, якщо площі її граней рівні S0, S1, S2 i S3, а двохгранні кути, які належать грані з площею S0, рівні між собою.
|
Задача 11.
|
Чотири сфери радіусом r розміщені так, що кожна із них
дотикається до трьох інших. Знайдіть радіус сфери, яка дотикається
кожної із даних сфер.
|
Задача 12.
|
В кулі радіусом R із точки її поверхні проведено три рівні хорди під кутом α одна до одної. Обчисліть їх довжину.
|
Задача 13.
|
Куля дотикається всіх граней куба. Знайдіть відношення площ поверхні та відношення обємів даних фігур.
|
Задача 14.
|
Площа поверхні кулі, вписаної в конус, рівна Q. Обчисліть площу
повної поверхні конуса, якщо найбільший кут між його твірними рівний α.
|
Задача 15.
|
В конус, у якого кут осьового перерізу при вершині рівний α,
вписана куля радіусом R. Знайдіть обєм частини конуса, розміщеної над
кулею.
|
Задача 16.
|
Відстань від центра вписаної в конус кулі до вершини конуса рівна
а. Кут між твірною та площиною основи конуса рівна α. Знайдіть обєм
конуса.
|
Задача 17.
|
В основі правильної призми лежить трикутник, вершини якого
являються серединами ребер основи правильної піраміди. Яка частина
обєму призми знаходиться поза пірамідою, якщо відомо, що висота
піраміди в 3 рази менше висоти призми?
|
Задача 18.
|
Твірна конуса рівна l і утворює з площиною основи кут φ. При
якому значенні φ обєм конуса буде найменшим? Чому дорівнює цей обєм?
|
Задача 19.
|
Знайдіть відношення висоти до радіуса основи циліндра, котрий при заданому обєму має найменшу повну поверхню.
|
Задача 20.
|
|
Бак циліндричної форми повинен вміщувати v літрів води. Якими
повинні бути його розміри, щоб площа його кришки була найменшою? |
