Задача 1.
|
Куля вписана в зрізаний конус. Доведіть, що площа поверхні кулі менше площі бокової поверхні конуса.
|
Задача 2.
|
Якщо призма вписана в прямокутний круговий циліндр, то вона
пряма, її висота рівна твірній циліндра і основа призми являється
вписаним многокутником. Доведіть.
|
Задача 3.
|
Похила утворює рівні кути з трьома попарно непаралельними прямими,
які лежать в одній площині. Доведіть, що похила перпендикулярна
площині.
|
Задача 4.
|
Доведіть, що пряма, яка перетинає дві грані двохгранного кута,
утворює з ними рівні кути тоді і тільки тоді, коли точки перетину
одинаково віддалені від ребра.
|
Задача 5.
|
Доведіть, що будь-який випуклий чотирьохгранний кут можна перетнути площиною так, щоб в перерізі отримали паралелограм.
|
Задача 6.
|
Чи завжди можна трьохгранний кут перетнути площиною так, щоб в перерізі отримали правильний трикутник?
|
Задача 7.
|
Доведіть, що якщо у випуклого трьохгранного кута всі двохгранні кути гострі, то і всі плоскі кути також гострі.
|
Задача 8.
|
Скільки площин симетрії може мати трикутна піраміда?
|
Задача 9.
|
Доведіть, що дві трикутні піраміди рівні або симетричні, якщо їх відповідні ребра рівні.
|
Задача 10.
|
Доведіть, що наступні чотири умови рівносильні:
1) бічні ребра піраміди рівні;
2) бічні ребра одинаково нахилені до площини основи піраміди;
3) бічні ребра утворюють одинакові кути з висотою піраміди;
4) навколо основи піраміди можна описати коло, а висота піраміди проходить через центр цього кола.
|
Задача 11.
|
Доведіть, що наступні три умови рівносильні:
1) висоти бічних граней піраміди рівні;
2) висота піраміди утворює одинакові кути з бічними гранями;
3) бічні грані піраміди нахилені до площини основи під одним кутом (при
цьому двохгранні кути пр основі піраміди можуть бути різними!).
|
Задача 12.
|
Доведіть, що якщо всі двохгранні кути деякої трикутної піраміди рівні, то і всі ребра цієї піраміди теж рівні.
|
Задача 13.
|
Які правильні многокутники можна отримати при перетині куба площиною?
|
Задача 14.
|
Доведіть, що всі діагоналі паралелепіпеда рівні, то він прямокутний.
|
Задача 15.
|
Доведіть, що якщо всі грані паралелепіпеда - рівні між собою паралелограми, то вони являються ромбами.
|
Задача 16.
|
Доведіть, що всі дотичні до кулі, проведені із однієї точки, мають одинакову довжину.
|
Задача 17.
|
Доведіть, що трикутну призму можна вписати в кулю тільки в тому випадку, якщо ця призма пряма.
|
Задача 18.
|
Доведіть, що якщо протилежні ребра тетраєдра попарно рівні, то вписана та описана навколо нього кулі концентричні.
|
Задача 19.
|
Чи існує многогранник, всі грані якого являються паралелограммами та попарно паралельні, і який, не являється призмою?
|
Задача 20.
|
Доведіть, що обєм правильної зрізаної піраміди рівний V=1/3H(S1+S2+(S1S2)0,5), де Н - її висота, а S1 i S2 - площі основ.
|
