Задача 1.
|
Доведіть, що кут С трикутника АВС буде прямим тоді і тільки тоді,
якщо довжини сторін цього трикутника звязані рівністю |AB|²=|AC|²+|BC|².
|
Задача 2.
|
У двох випуклих чотирикутників співпадають середини сторін. Доведіть, що площі цих чотирикутників рівні.
|
Задача 3.
|
Доведіть, що у випуклий чотирикутник можна вписати окружність тоді
і тільки тоді, коли суми довжин протилежних сторін даного чотирикутника
рівні.
|
Задача 4.
|
Навколо трапеції описане коло. Доведіть, що це можливо тоді і тільки тоді, коли дана трапеція рівнобічна.
|
Задача 5.
|
Доведіть, що в прямокутному трикутнику сума довжин катетів рівна сумі діаметрів вписаного та описаного кола.
|
Задача 6.
|
В рівнобедреному трикутнику з основою а та боковою стороною b кут при вершині дорівнює 20o. Доведіть, що |a|³+|b|³=3|a||b|².
|
Задача 7.
|
В трикутнику довжини сторін a,b,c звязані рівністю
|a|²+|b|²=5|c|². Доведіть, що медіани до сторін a i b взаємно
перпендикулярні.
|
Задача 8.
|
Кожна сторона випуклого чотирикутника перетинається з деякою
окржністю в двох точках, причому довжини відрізків сторін, які лежать
всередині окружності, рівні. Доведіть, що в даний чотирикутник можна
вписати коло.
|
Задача 9.
|
Величина одного з кутів трикутника рівна 30o. Доведіть, що довжина сторони, протилежна даному куту, рівна радіусу описаного кола.
|
Задача 10.
|
На площині дано дві взаємно перпендикулярні прямі. Знайдіть
множину всіх точок площини, сума відстаней від яких до даних прямих
рівна сумі величин, обернені даним відстаням.
|
Задача 11.
|
Через центр правильного трикутника проведена пряма. Доведіть, що
сума квадратів відстаней від вершини трикутника до цієї прямої не
залежить від вибору прямої.
|
Задача 12.
|
Доведіть, що лінія центрів двох кіл, що перетинаються, ділять спільну хорду навпіл..
|
Задача 13.
|
Доведіть, що середини сторін випуклого чотирикутника являються вершинами паралелограмма.
|
Задача 14.
|
Докажіть, що сума довжин медіан трикутника більше його півпериметра, але менше його периметра.
|
Задача 15.
|
В трикутнику центри вписаного та описаного кола співпадають. Доведіть, що цей трикутник рівносторонній.
|
Задача 16.
|
Доведіть, що якщо пряма, зєднує середини основ трапеції, перпендикелярна основам, то трапеція - рівнобічна.
|
Задача 17.
|
Доведіть, що якщо сторони однієї трапеції рівні відповідним сторонам другої трапеції, то дані трапеції рівні.
|
Задача 18.
|
Доведіть, що в трапеції, діагоналі якої є бісектрисами кутів при одній основі, довжини трьох сторін рівні.
|
Задача 19.
|
Доведіть, що якщо в трапеції хоча б одна із діагоналей в точці
перетину з іншою ділиться навпіл, то дана трапеція паралелограмм.
|
Задача 20.
|
| Доведіть, що обмежена фігура не може мати два центра симетрії. |
